\chapter{Brunt-Väisälä频率分层方程的经典推导(1925-1927)}
	
	\begin{abstract}
		本文详细回顾了David Brunt(1927)和Väisälä(1925)关于大气层结稳定性判据的经典推导过程。通过分析流体微团在分层流体中的垂直位移，得到了表征稳定性的Brunt-Väisälä频率$N$的表达式。推导过程展示了如何从基本流体静力学平衡出发，建立考虑温度梯度的稳定性判据。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	Brunt-Väisälä频率是大气和海洋动力学中的重要参数，由David Brunt(1927)和Väisälä(1925)分别独立提出。该频率表征了分层流体中对垂直位移的恢复力，决定了内部重力波的特性。本文系统整理两位学者的原始推导过程。
	
	\section{基本假设}
	推导基于以下假设：
	\begin{itemize}
		\item 理想气体满足状态方程$p=\rho R T$
		\item 流体处于静力学平衡：$\frac{dp}{dz}=-\rho g$
		\item 位移过程是绝热的
		\item 微团运动时间尺度远小于热交换时间
	\end{itemize}
	
	\section{Väisälä的推导(1925)}
	\subsection{原始推导过程}
	Väisälä考虑流体微团从初始高度$z_0$位移到$z_0+\delta z$后的受力情况。
	
	环境密度分布$\rho_e(z)$，微团密度$\rho_p$。位移后微团密度按绝热过程变化：
	
	\begin{equation}
		\rho_p(z_0+\delta z) = \rho_0 \left( \frac{p(z_0+\delta z)}{p_0} \right)^{1/\gamma}
	\end{equation}
	
	环境密度可展开为：
	
	\begin{equation}
		\rho_e(z_0+\delta z) \approx \rho_0 + \left( \frac{d\rho_e}{dz} \right)_0 \delta z
	\end{equation}
	
	恢复力（单位质量）为：
	
	\begin{equation}
		F = -g \left( \frac{\rho_p - \rho_e}{\rho_p} \right) \approx -g \left( \frac{\rho_p - \rho_e}{\rho_0} \right)
	\end{equation}
	
	将(1)(2)代入(3)，得到：
	
	\begin{equation}
		F \approx -\frac{g}{\rho_0} \left[ \rho_0 \left( 1 + \frac{1}{\gamma p_0} \frac{dp}{dz} \delta z \right) - \rho_0 - \frac{d\rho_e}{dz} \delta z \right]
	\end{equation}
	
	利用静力学平衡$\frac{dp}{dz}=-\rho_0 g$，整理得：
	
	\begin{equation}
		F = - \left( \frac{g}{\rho_0} \frac{d\rho_e}{dz} + \frac{g^2}{c_s^2} \right) \delta z
	\end{equation}
	
	其中$c_s^2=\gamma p_0/\rho_0$为声速平方。由此得到Brunt-Väisälä频率：
	
	\begin{equation}
		N^2 = \frac{g}{\rho_0} \left| \frac{d\rho_e}{dz} \right| - \frac{g^2}{c_s^2}
	\end{equation}
	
	\section{Brunt的推导(1927)}
	\subsection{温度梯度形式}
	Brunt采用位温$\theta$作为变量，考虑微团位移后的温差：
	
	\begin{equation}
		\Delta T = \left( \frac{dT}{dz} - \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right) \delta z
	\end{equation}
	
	产生的浮力为：
	
	\begin{equation}
		F = g \frac{\Delta T}{T_0} = g \left( \frac{dT}{dz} - \left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad} \right) \frac{\delta z}{T_0}
	\end{equation}
	
	绝热温度梯度$\Gamma_{ad}=-\left( \frac{dT}{dz} \right)_{ad}=\frac{g}{c_p}$，因此：
	
	\begin{equation}
		N^2 = g \left( \frac{\Gamma_{ad} - \Gamma}{T_0} \right)
	\end{equation}
	
	其中$\Gamma=-dT/dz$为环境温度梯度。
	
	\section{统一表达式}
	结合状态方程，可得通用表达式：
	
	\begin{equation}
		N^2 = \frac{g}{\theta} \frac{d\theta}{dz} = g \left( \frac{1}{T} \frac{dT}{dz} + \frac{g}{c_p T} \right)
	\end{equation}
	
	\section{结论}
	Brunt和Väisälä分别从不同角度推导了层结稳定性判据：
	\begin{itemize}
		\item Väisälä(1925)直接从密度扰动出发
		\item Brunt(1927)采用位温概念更直观
		\item 两者本质等价，现代文献多采用位温形式
	\end{itemize}
	
	\section*{致谢}
	感谢对经典流体力学理论发展的先驱工作。
	
	\begin{thebibliography}{9}
		\bibitem{brunt1927} 
		Brunt D. The period of simple vertical oscillations in the atmosphere[J]. Quarterly Journal of the Royal Meteorological Society, 1927, 53(221): 30-32.
		
		\bibitem{vaisala1925} 
		Väisälä V. Über die Wirkung der Windschwankungen auf die Pilotbeobachtungen[J]. Soc. Sci. Fenn. Commentat. Phys. Math, 1925, 2(19): 1-86.
	\end{thebibliography}
	